Ley (o teorema) del seno y coseno en la aplicación de triángulos

Teorema o Ley del SENO

Se aplica en los siguientes casos:
ü Cuando conocemos dos ángulos y cualquier lado.
ü Cuando conocemos dos lados  y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.
El éxito al aplicar el TEOREMA DEL SENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.
Recordemos que despejar una ecuación o fórmula matemática es:

• Ø Ubicar la variable a despejar (cantidad desconocida), si se encuentra antes o después del igual.
• Ø Si la variable a despejar se halla antes del igual; todas las variables conocidas que  acompañan la variable desconocida deben ser movidas o ubicadas después del igual, para ello debemos tener en cuenta que si hay variables conocidas después del igual se deben dejar  tal como están.
• Ø Las variables que conocemos al ubicarlas después del igual pasaran a realizar la operación opuesta; por ejemplo si esta sumando pasara a restar, si está multiplicando pasara a dividir, si está dividiendo pasara a multiplicar, si está restando pasara a restar. Para dejar sola la variable desconocida antes del IGUAL.
• Ø El anterior proceso se realiza cuando la variable desconocida se halla en el NUMERADOR cuando trabajamos con fraccionarios.
• Ø Si la variable desconocida se halla ubicada en el DENOMINADOR  y esta antes del igual debemos pasarla después del igual a ocupar el lugar en el NUMERADOR. Teniendo en cuenta que debes dejar sola la variable desconocida.
• Ø Estos pasos los debemos tener en cuenta para trabajar en el despeje de ecuaciones y/o formulas matemáticas.

La formula de la LEY DE SENOS ES:
SENA/a =SENB/b=SENC/c   o también la puedes aplicar de la siguiente forma: a/SENA = b/SENB =c/SENC.
De cualquiera de las dos formas el resultado será igual.
Esta fórmula se lee de la siguiente forma:
El seno del ángulo A sobre el lado a   o  el lado a sobre el ángulo A es igual al Seno del ángulo B sobre el lado b   o  el lado b sobre el ángulo B es igual al Seno del ángulo C sobre el lado c    o  el lado c sobre el ángulo C.
Veamos algunos ejemplos:
Resolvamos el siguiente triangulo ABC, en el cual el ángulo A= 55°, ángulo B= 41° y a=4,5 cm.
SOLUCION:
Aquí conocemos dos ángulos y un lado.
Nos hace falta calcular el ángulo C.
Nos hace falta calcular los lados b y c  y el área del triangulo.
Ahora aplicaremos el teorema de los SENOS.
Como los ángulos y los lados están determinados por las LETRAS ABC, por ello aplicaremos la ley de los senos así:
a/Sen A =b/Sen B= c/Sen C
Lo primero que vamos a calcular es el ángulo faltante de la siguiente manera:

∡C =180° -(∡A +∡ B)
∡C = 180° – (55°+41°)
∡C = 180°­-96°
∡C = 84°

 Como conocemos el ∡A y el ∡B y el lado a=4,5cm.
Entonces aplicamos esta parte del teorema de Senos, recuerda que este teorema se trabaja en parejas de la formula.
Vamos a calcular el lado b.
a/Sen A = b/ Sen B
Despejamos  b.
Como vamos a despejar b y por encontrarse después del igual y en el numerador dejamos a b después del igual.
Ahora despejamos b así:
La parte que esta antes del igual se deja tal como esta, y la parte que esta después del igual esta en el denominador esto quiere decir que está dividiendo, como debemos dejar solo a b, lo que está en el dividiendo al enviarlo antes del igual pasara a multiplicar. Para este caso.
Ahora veámoslo con la formula:

a/Sen A = b/ Sen B

a(Sen B)/Sen A = b
Ahora reemplacemos la formula.
a=4,5 cm
∡ A = 55°
∡ B = 41°
4,5cm(Sen 41°)/Sen 55° = b
b= 3,6 cm

Ahora vamos a calcular el lado c:
b/Sen B = c/Sen C
b(Sen C)/Sen B = c
Ahora reemplacemos la formula:
3,6cm (Sen 84°)/Sen 41° = c
5,46 cm = c
Calculemos el área para lo cual tomamos dos lados y el ángulo que está formado por esos dos lados. Para nuestro ejercicio será:
Area del triángulo = base por un lado por el Seno del ángulo formado por la base y el lado tomado; todo lo dividimos entre dos.
Veamos:
Area del triangulo =c(a)SenB
Area del triangulo = 5,46 cm(4,5cm)(Sen 41°)/2
Area del triangulo = 8,05 cm²
Veamos otro ejemplo:
Resolvamos el triangulo DEF, en el cual el ∡D=40°,lado d= 5cm y el lado  e = 2cm.
Para este caso conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
Como el triángulo está determinado por los ángulos DEF.
Vamos a calcular primeramente el ángulo E:
d/Sen D= e/Sen E
Como vamos despejar el Sen E y por hallarse en el denominador después del igual debemos enviarlo a antes del igual y pasara a multiplicar, lo que esta antes del igual pasara después del igual, de la siguiente manera lo que está en el denominador pasara como numerador y lo que estaba como numerador se convertirá en denominador esto quiere decir; que  lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar y lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar. Para asi despejar el ∡ E; ahora veamos cómo nos quedara la formula:
Sen E = e(Sen D)/ d
Ahora reemplacemos:
Sen E = 2cm(Sen 40°)/ 5cm
Sen E = 0,25711504438
Recordemos que para calcular un ángulo debemos digitar en la calculadora: tecla shift la función (para este caso es SENO) la tecla ANS(es donde la calculadora guarda el último resultado de cualquier operación matemática) = y la tecla ° ′ ″ .Obteniéndose así el ángulo.
Veamos: E = shift  Sen 0,25711504438 =14° 53′ 56″
Ahora calculemos el ángulo que nos falta, que es el ∡ F:

∡ F = 180° – (∡D+∡E)
∡F = 180° -(40° +14° 53′ 56″)
∡F = 180° – 54° 53′ 56″
∡F = 125° 6′ 4″

Ahora calculemos el lado f:
Sen D/d = Sen F/f
f = Sen F (d)/Sen D
Reemplacemos:
f = Sen 125° 6′ 4″ (5cm)/Sen 40°
f= 6,36 cm
Por último calculemos el área:
Area del triangulo = base(un lado)(Seno del ángulo comprendido entre los dos).Todo dividido entre 2.
Area del triangulo = 6,36 cm(2cm)Seno 40°/2
Area del triangulo =4,08 cm²

Teorema o Ley del COSENO

Se aplica en los siguientes casos:
ü Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
ü Cuando conocemos sus tres lados. 
ü Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.
El éxito al aplicar el TEOREMA DEL COSENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.
Las formulas para aplicar el Teorema del Coseno son tres a saber:
a²=b²+c²-2bc (Cos A)
b²=a²+c²-2ac (Cos B)
c²=a²+b²-2ab (Cos C)
Las anteriores formulas nos permite despejar algún lado desconocido.
Para calcular ángulos cuando conozco solo los lados tendré que despejar de la siguiente forma:
Como tenemos la función Coseno después del igual la dejamos en ese lado, por lo tanto cambio de lugar el resto de variables o sea que las enviamos para antes del igual y esto hace que cada variable conocida pase con los signos opuestos en la SUMA Y/O RESTA.
Las que están multiplicando pasan a DIVIDIR CON SU SIGNO RESPECTIVO.
A continuación veremos cómo se despeja cada fórmula para hallar el ángulo desconocido.

a²=b²+c²-2bc(Cos A)
a²-b²-c²/-2bc = (Cos A)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

b²=a²+c²-2ac(Cos B)
b²-a²-c²/-2ac = (Cos B)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

c²=a²+b²-2ab(Cos C)
c²-a²-b²/-2ab = (Cos C)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

EJEMPLOS:
Determinar la medida del lado b para el triangulo ABC,en el cual ∡B= 130°,a= 10cm y c=5cm.
Nos falta hallar:
∡A, ∡B, ∡C y el área.
Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos podemos aplicar el Teorema del Coseno.
b²=a²+c²-2ac(Cos B), ahora reemplacemos:
b²=(10cm)²+(5cm)²-2(10cm)(5cm)(Cos 130°)
b²=100cm²+25cm²-2(50cm²)(Cos 130°)
b²=125cm²-(100cm²)(Cos 130°)
b²=25cm² (Cos 130°)
b²=13,76cm.
Hallemos el ángulo A.
a²=b²+c²-2bc(Cos A)
a²-b²-c²/-2bc = (Cos A)
Ahora reemplacemos:
(10cm)²-(13,76cm)²-(5cm)²/-2(13,76cm)(5cm) = (Cos A)
100cm²-189,33cm²-25cm²/-2(68,8cm²) = (Cos A)
100cm²-164,33cm²/(-27,52cm²) = (Cos A)
-64,33cm²/(-27,52cm²) = (Cos A)
2,337572674 = (Cos A)
Shif Cos 2,337572674 =A
En la calculadora dará error porque debemos recordar que el Coseno va de 1 a -1, por lo tanto el triangulo no tiene solución. Porque no existe ningún ángulo cuyo Coseno valga 2,337…
EJEMPLO:
Resolver el triangulo DEF, en el cual d=5cm,e=4cm y f=6cm
Debemos hallar los tres ángulos y el área.
Hallemos el ángulo D:
d²=e²+f²-2ef(Cos D)
d²-e²-f²/-2ef = (Cos D)
Ahora reemplacemos:
(5cm)²-(4cm)²-(6cm)²/-2(4cm)(6cm) = (Cos D)
25cm²-16cm²-36cm²/-2(24cm²) = (Cos D)
25cm²-52cm²/(-48cm²) = (Cos D)
-27cm²/(-48cm²) = (Cos D) Recordemos que un numero negativo dividido en otro numero negativo su resultado será siempre positivo.
0,5625 = (Cos D)
Shif Cos 0,5625 = 55,77113367= Shif ° ′ ″ =55° 46′ 16,08″= D
Ahora calculemos el otro ángulo:
f²=d²+e²-2de(Cos F)
f²-d²-e²/-2de = (Cos F)
Ahora reemplacemos:
(6cm)²-(5cm)²-(4cm)²/-2(5cm)(4cm) = (Cos F)
36cm²-25cm²-16cm²/-2(20cm²) = (Cos F)
36cm²-41cm²/(-40cm²) = (Cos F)
-5cm²/(-48cm²) = (Cos F)
0,104166666 = (Cos F)
Shif Cos 0,104166666 = 84,0208432= Shif ° ′ ″ =84° 1′ 15,04″= F
Ahora calculemos el otro ángulo:
∡E=180° – (∡D+∡F)
∡E=180° – (55° 46′ 16,08″+84° 1′ 15,04″)
∡E=180° – 139° 47′ 31,1″
∡E= 40° 12′ 28,8″
Ahora calculemos el área:
Para ello tomamos dos lados y el ángulo formado por los dos lados.
Área del triangulo= f(e) Sen D /2
Área del triangulo= 6cm(4cm) Sen 55° 46′ 16,08″  /2
Área del triangulo= 24cm² Sen 55° 46′ 16,08″  /2
Área del triangulo= 9,92cm²
Como podemos ver estos dos teoremas o leyes nos ayuda a simplificar el trabajo, la clave es saber despejar cualquier ecuación.
A continuación vamos a realizar un taller para reforzar nuestros conocimientos y a su vez hacer la retroalimentación y así despejar cualquier duda.
Para la solución de cada ejercicio debemos tener en cuenta las condiciones para poder aplicar el teorema o ley indicada para no perder tiempo y agilizar nuestro trabajo.
La solución de estos triángulos incluye hallar el área del triangulo dado.

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:

Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:

Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:

Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:

Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:

Identidades trigonométricas de ángulo doble:

Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:

Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :

Gráficas de las funciones trigonométricas

SENO:



COSENO:






TANGENTE:




COTANGENTE:




SECANTE:


COSECANTE:

Particularidades de las razones trigonométricas

Las características fundamentales de la función SENO son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ sen x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    sen (- x) = - sen (x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π/2 + 2·k·π    y   b = π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = π/2 + 2·k·π    y   b = 3π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (3π/2 + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     sen (x) = sen (x + 2π)

     La función   f(x) = sen (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para   0 < |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.




Las características fundamentales de la función COSENO son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

    cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     cos (x) = cos (x + 2π)

     La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.






Las características fundamentales de la función TANGENTE son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.




Las características fundamentales de la función COTANGENTE son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cotg (- x) = - cotg (x)

6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     cotg (x) = cotg (x + π)

     La función   f(x) = cotg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.







Las características fundamentales de la función SECANTE son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     sec (x) = sec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.




Las características fundamentales de la función COSECANTE son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X ni al eje Y.

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (- π/2 + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     cosec (x) = cosec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

Reseña histórica de la trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos, es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.  

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega.  El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos, prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

 

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. 

El occidente se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

 

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral, utilizando series infinitas, encontró la serie para sen x y series similares para el cos x y tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos, encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.