Ley (o teorema) del seno y coseno en la aplicación de triángulos

Teorema o Ley del SENO

Se aplica en los siguientes casos:
ü Cuando conocemos dos ángulos y cualquier lado.
ü Cuando conocemos dos lados  y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.
El éxito al aplicar el TEOREMA DEL SENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.
Recordemos que despejar una ecuación o fórmula matemática es:

• Ø Ubicar la variable a despejar (cantidad desconocida), si se encuentra antes o después del igual.
• Ø Si la variable a despejar se halla antes del igual; todas las variables conocidas que  acompañan la variable desconocida deben ser movidas o ubicadas después del igual, para ello debemos tener en cuenta que si hay variables conocidas después del igual se deben dejar  tal como están.
• Ø Las variables que conocemos al ubicarlas después del igual pasaran a realizar la operación opuesta; por ejemplo si esta sumando pasara a restar, si está multiplicando pasara a dividir, si está dividiendo pasara a multiplicar, si está restando pasara a restar. Para dejar sola la variable desconocida antes del IGUAL.
• Ø El anterior proceso se realiza cuando la variable desconocida se halla en el NUMERADOR cuando trabajamos con fraccionarios.
• Ø Si la variable desconocida se halla ubicada en el DENOMINADOR  y esta antes del igual debemos pasarla después del igual a ocupar el lugar en el NUMERADOR. Teniendo en cuenta que debes dejar sola la variable desconocida.
• Ø Estos pasos los debemos tener en cuenta para trabajar en el despeje de ecuaciones y/o formulas matemáticas.

La formula de la LEY DE SENOS ES:
SENA/a =SENB/b=SENC/c   o también la puedes aplicar de la siguiente forma: a/SENA = b/SENB =c/SENC.
De cualquiera de las dos formas el resultado será igual.
Esta fórmula se lee de la siguiente forma:
El seno del ángulo A sobre el lado a   o  el lado a sobre el ángulo A es igual al Seno del ángulo B sobre el lado b   o  el lado b sobre el ángulo B es igual al Seno del ángulo C sobre el lado c    o  el lado c sobre el ángulo C.
Veamos algunos ejemplos:
Resolvamos el siguiente triangulo ABC, en el cual el ángulo A= 55°, ángulo B= 41° y a=4,5 cm.
SOLUCION:
Aquí conocemos dos ángulos y un lado.
Nos hace falta calcular el ángulo C.
Nos hace falta calcular los lados b y c  y el área del triangulo.
Ahora aplicaremos el teorema de los SENOS.
Como los ángulos y los lados están determinados por las LETRAS ABC, por ello aplicaremos la ley de los senos así:
a/Sen A =b/Sen B= c/Sen C
Lo primero que vamos a calcular es el ángulo faltante de la siguiente manera:

∡C =180° -(∡A +∡ B)
∡C = 180° – (55°+41°)
∡C = 180°­-96°
∡C = 84°

 Como conocemos el ∡A y el ∡B y el lado a=4,5cm.
Entonces aplicamos esta parte del teorema de Senos, recuerda que este teorema se trabaja en parejas de la formula.
Vamos a calcular el lado b.
a/Sen A = b/ Sen B
Despejamos  b.
Como vamos a despejar b y por encontrarse después del igual y en el numerador dejamos a b después del igual.
Ahora despejamos b así:
La parte que esta antes del igual se deja tal como esta, y la parte que esta después del igual esta en el denominador esto quiere decir que está dividiendo, como debemos dejar solo a b, lo que está en el dividiendo al enviarlo antes del igual pasara a multiplicar. Para este caso.
Ahora veámoslo con la formula:

a/Sen A = b/ Sen B

a(Sen B)/Sen A = b
Ahora reemplacemos la formula.
a=4,5 cm
∡ A = 55°
∡ B = 41°
4,5cm(Sen 41°)/Sen 55° = b
b= 3,6 cm

Ahora vamos a calcular el lado c:
b/Sen B = c/Sen C
b(Sen C)/Sen B = c
Ahora reemplacemos la formula:
3,6cm (Sen 84°)/Sen 41° = c
5,46 cm = c
Calculemos el área para lo cual tomamos dos lados y el ángulo que está formado por esos dos lados. Para nuestro ejercicio será:
Area del triángulo = base por un lado por el Seno del ángulo formado por la base y el lado tomado; todo lo dividimos entre dos.
Veamos:
Area del triangulo =c(a)SenB
Area del triangulo = 5,46 cm(4,5cm)(Sen 41°)/2
Area del triangulo = 8,05 cm²
Veamos otro ejemplo:
Resolvamos el triangulo DEF, en el cual el ∡D=40°,lado d= 5cm y el lado  e = 2cm.
Para este caso conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
Como el triángulo está determinado por los ángulos DEF.
Vamos a calcular primeramente el ángulo E:
d/Sen D= e/Sen E
Como vamos despejar el Sen E y por hallarse en el denominador después del igual debemos enviarlo a antes del igual y pasara a multiplicar, lo que esta antes del igual pasara después del igual, de la siguiente manera lo que está en el denominador pasara como numerador y lo que estaba como numerador se convertirá en denominador esto quiere decir; que  lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar y lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar. Para asi despejar el ∡ E; ahora veamos cómo nos quedara la formula:
Sen E = e(Sen D)/ d
Ahora reemplacemos:
Sen E = 2cm(Sen 40°)/ 5cm
Sen E = 0,25711504438
Recordemos que para calcular un ángulo debemos digitar en la calculadora: tecla shift la función (para este caso es SENO) la tecla ANS(es donde la calculadora guarda el último resultado de cualquier operación matemática) = y la tecla ° ′ ″ .Obteniéndose así el ángulo.
Veamos: E = shift  Sen 0,25711504438 =14° 53′ 56″
Ahora calculemos el ángulo que nos falta, que es el ∡ F:

∡ F = 180° – (∡D+∡E)
∡F = 180° -(40° +14° 53′ 56″)
∡F = 180° – 54° 53′ 56″
∡F = 125° 6′ 4″

Ahora calculemos el lado f:
Sen D/d = Sen F/f
f = Sen F (d)/Sen D
Reemplacemos:
f = Sen 125° 6′ 4″ (5cm)/Sen 40°
f= 6,36 cm
Por último calculemos el área:
Area del triangulo = base(un lado)(Seno del ángulo comprendido entre los dos).Todo dividido entre 2.
Area del triangulo = 6,36 cm(2cm)Seno 40°/2
Area del triangulo =4,08 cm²

Teorema o Ley del COSENO

Se aplica en los siguientes casos:
ü Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
ü Cuando conocemos sus tres lados. 
ü Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.
El éxito al aplicar el TEOREMA DEL COSENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.
Las formulas para aplicar el Teorema del Coseno son tres a saber:
a²=b²+c²-2bc (Cos A)
b²=a²+c²-2ac (Cos B)
c²=a²+b²-2ab (Cos C)
Las anteriores formulas nos permite despejar algún lado desconocido.
Para calcular ángulos cuando conozco solo los lados tendré que despejar de la siguiente forma:
Como tenemos la función Coseno después del igual la dejamos en ese lado, por lo tanto cambio de lugar el resto de variables o sea que las enviamos para antes del igual y esto hace que cada variable conocida pase con los signos opuestos en la SUMA Y/O RESTA.
Las que están multiplicando pasan a DIVIDIR CON SU SIGNO RESPECTIVO.
A continuación veremos cómo se despeja cada fórmula para hallar el ángulo desconocido.

a²=b²+c²-2bc(Cos A)
a²-b²-c²/-2bc = (Cos A)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

b²=a²+c²-2ac(Cos B)
b²-a²-c²/-2ac = (Cos B)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

c²=a²+b²-2ab(Cos C)
c²-a²-b²/-2ab = (Cos C)
para hallar el ángulo debemos:
Shift Cos ANS = ° ′″

EJEMPLOS:
Determinar la medida del lado b para el triangulo ABC,en el cual ∡B= 130°,a= 10cm y c=5cm.
Nos falta hallar:
∡A, ∡B, ∡C y el área.
Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos podemos aplicar el Teorema del Coseno.
b²=a²+c²-2ac(Cos B), ahora reemplacemos:
b²=(10cm)²+(5cm)²-2(10cm)(5cm)(Cos 130°)
b²=100cm²+25cm²-2(50cm²)(Cos 130°)
b²=125cm²-(100cm²)(Cos 130°)
b²=25cm² (Cos 130°)
b²=13,76cm.
Hallemos el ángulo A.
a²=b²+c²-2bc(Cos A)
a²-b²-c²/-2bc = (Cos A)
Ahora reemplacemos:
(10cm)²-(13,76cm)²-(5cm)²/-2(13,76cm)(5cm) = (Cos A)
100cm²-189,33cm²-25cm²/-2(68,8cm²) = (Cos A)
100cm²-164,33cm²/(-27,52cm²) = (Cos A)
-64,33cm²/(-27,52cm²) = (Cos A)
2,337572674 = (Cos A)
Shif Cos 2,337572674 =A
En la calculadora dará error porque debemos recordar que el Coseno va de 1 a -1, por lo tanto el triangulo no tiene solución. Porque no existe ningún ángulo cuyo Coseno valga 2,337…
EJEMPLO:
Resolver el triangulo DEF, en el cual d=5cm,e=4cm y f=6cm
Debemos hallar los tres ángulos y el área.
Hallemos el ángulo D:
d²=e²+f²-2ef(Cos D)
d²-e²-f²/-2ef = (Cos D)
Ahora reemplacemos:
(5cm)²-(4cm)²-(6cm)²/-2(4cm)(6cm) = (Cos D)
25cm²-16cm²-36cm²/-2(24cm²) = (Cos D)
25cm²-52cm²/(-48cm²) = (Cos D)
-27cm²/(-48cm²) = (Cos D) Recordemos que un numero negativo dividido en otro numero negativo su resultado será siempre positivo.
0,5625 = (Cos D)
Shif Cos 0,5625 = 55,77113367= Shif ° ′ ″ =55° 46′ 16,08″= D
Ahora calculemos el otro ángulo:
f²=d²+e²-2de(Cos F)
f²-d²-e²/-2de = (Cos F)
Ahora reemplacemos:
(6cm)²-(5cm)²-(4cm)²/-2(5cm)(4cm) = (Cos F)
36cm²-25cm²-16cm²/-2(20cm²) = (Cos F)
36cm²-41cm²/(-40cm²) = (Cos F)
-5cm²/(-48cm²) = (Cos F)
0,104166666 = (Cos F)
Shif Cos 0,104166666 = 84,0208432= Shif ° ′ ″ =84° 1′ 15,04″= F
Ahora calculemos el otro ángulo:
∡E=180° – (∡D+∡F)
∡E=180° – (55° 46′ 16,08″+84° 1′ 15,04″)
∡E=180° – 139° 47′ 31,1″
∡E= 40° 12′ 28,8″
Ahora calculemos el área:
Para ello tomamos dos lados y el ángulo formado por los dos lados.
Área del triangulo= f(e) Sen D /2
Área del triangulo= 6cm(4cm) Sen 55° 46′ 16,08″  /2
Área del triangulo= 24cm² Sen 55° 46′ 16,08″  /2
Área del triangulo= 9,92cm²
Como podemos ver estos dos teoremas o leyes nos ayuda a simplificar el trabajo, la clave es saber despejar cualquier ecuación.
A continuación vamos a realizar un taller para reforzar nuestros conocimientos y a su vez hacer la retroalimentación y así despejar cualquier duda.
Para la solución de cada ejercicio debemos tener en cuenta las condiciones para poder aplicar el teorema o ley indicada para no perder tiempo y agilizar nuestro trabajo.
La solución de estos triángulos incluye hallar el área del triangulo dado.